哥德尔定理是一阶逻辑的定理，在形式逻辑中，数学命题及其证明都是用一种符号语言描述的，在这里我们可以机械地检查每个证明的合法性，于是便可以从一组公理开始无可辩驳地证明一条定理。上世纪初，以希尔伯特为代表的形式主义派，希望能通过形式逻辑的方法，构造一个有关数论（自然数）的有限的公理集合，推出所有数论原理（完备性），且无矛盾（相容性），并以此出发构造整个形式主义的数学体系。而哥德尔第一不完备定理，粉碎了这一设想。这两个定理实际上表明，这样的公理系统要么不完备，要么有矛盾。数论的相容性为根茨（G.Gentaen，1909-1945）在1936年使用蕴涵着非演绎逻辑的超限归纳法所证明。

这个定理表明，有些关于自然数的命题，本身可能是真命题，但是不能仅从自然数公理系统内证明或证否，需要其他的手段或者方法，如集合论等，才可以证明。

“该定理仅假设公理系统能‘定义’自然数”，是一阶的逻辑定理，不要任意扩大。

人脑也要受到哥德尔定理的限制。两者间的差别，可用包含非确定性的计算系统说明，就是所谓的“模糊”处理。人脑正是这样的包含了非确定性的自然形成的神经网络系统，它之所以看上去具有电脑不具备的“直觉”，正是这种系统的“模糊”处理能力和效率极高的表现。而传统的图灵机则是确定性的串行处理系统，虽然也可以模拟这样的“模糊”处理，但是效率太低下了。而正在研究中的量子计算机和计算机神经网络系统才真正有希望解决这样的问题，达到人脑的能力。