冯·诺伊曼花了几周的时间准备一个相关定理的证明，该证明基于哥德尔不完备性证明的算术运算，证明“形式系统”不仅不能证明其中的每一个陈述，而且也不能保证证明其自身的一致性。

第二不完全性定理（哥德尔, 1931b）
没有一个包含皮亚诺算术的一致公理系统能证明其自身的一致性。
通俗地说，任何能够形成自身一致性的正式系统，只有当且仅当它不一致时才能证明这一点。